12. Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле \[S = \frac{d_1 d_2 \sin \alpha}{2}, \text{ где } d_1 \text{ и } d_2 - \text{ длины диагоналей четырехугольника, } \alpha - \text{ угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали } d_2, \text{ если } d_1 = 4, \sin \alpha = \frac{5}{7}, \text{ а } S = 10.\]

Для решения этой задачи, мы будем использовать формулу площади четырехугольника, заданную в условии, и известные значения, чтобы найти длину диагонали (d_2). 1. Запишем формулу и известные значения: \[S = \frac{d_1 d_2 \sin \alpha}{2}\] \[S = 10, d_1 = 4, \sin \alpha = \frac{5}{7}\] 2. Подставим известные значения в формулу: \[10 = \frac{4 \cdot d_2 \cdot \frac{5}{7}}{2}\] 3. Упростим уравнение: \[10 = \frac{20 d_2}{14}\] \[10 = \frac{10 d_2}{7}\] 4. Решим уравнение относительно (d_2): Умножим обе части уравнения на 7: \[70 = 10 d_2\] Разделим обе части уравнения на 10: \[d_2 = \frac{70}{10}\] \[d_2 = 7\] Ответ: 7 Объяснение для учеников: Мы начали с записи формулы площади четырехугольника и известных значений. Затем мы подставили эти значения в формулу и упростили уравнение. В конечном итоге, мы решили уравнение относительно (d_2), чтобы найти длину второй диагонали. Важно помнить, что при решении уравнений нужно выполнять одинаковые операции с обеими сторонами уравнения, чтобы сохранить равенство.