Площадь квадрата MNKL равна 144, S - точка пересечения диагоналей. Найти: 1) Сторону квадрата 2) Диагональ 3) Радиус описанной окружности 4) Расстояние от S до середины NK 5) Периметр 6) Радиус вписанной окружности 7) Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностями ΔMSL 8) ctg∠MNL 9) cos∠MSN 10) sin∠LMK 11) F ∈ SK, KF : FS = 5:1 LF ∩ NK = W, LF ∩ MN = X Найти: SW, tg∠LWK и SFSNX

Дано: Квадрат MNKL, площадь которого равна 144, S – точка пересечения диагоналей.

1. Сторона квадрата:

   Площадь квадрата равна квадрату его стороны, поэтому сторона квадрата равна корню из площади:

   $$a = \sqrt{144} = 12$$

   Ответ: 12

2. Диагональ:

   Диагональ квадрата можно найти по формуле $$d = a\sqrt{2}$$, где a - сторона квадрата:

   $$d = 12\sqrt{2}$$

   Ответ: $$12\sqrt{2}$$

3. Радиус описанной окружности:

   Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата:

   $$R = \frac{d}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$$

   Ответ: $$6\sqrt{2}$$

4. Расстояние от S до середины NK:

   S - точка пересечения диагоналей, и она является центром квадрата. Расстояние от центра квадрата до середины любой стороны равно половине стороны квадрата:

   $$r = \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

   Ответ: 6

5. Периметр:

   Периметр квадрата равен сумме длин всех его сторон:

   $$P = 4a = 4 \cdot 12 = 48$$

   Ответ: 48

6. Радиус вписанной окружности:

   Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата (то же самое, что и расстояние от S до середины NK):

   $$r = \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

   Ответ: 6

7. Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностями ΔMSL:

   Центры вписанной и описанной окружностей квадрата совпадают (точка S). Следовательно, расстояние между ними равно 0.

   Ответ: 0

8. ctg∠MNL:

   ∠MNL - это угол квадрата, который равен 90 градусов. Котангенс 90 градусов равен 0.

   $$ctg(90°) = 0$$

   Ответ: 0

9. cos∠MSN:

   ∠MSN - это угол между диагоналями квадрата, которые пересекаются под прямым углом, поэтому он равен 90 градусов. Косинус 90 градусов равен 0.

   $$cos(90°) = 0$$

   Ответ: 0

10. sin∠LMK:

    ∠LMK - это угол квадрата, который равен 90 градусов. Синус 90 градусов равен 1.

    $$sin(90°) = 1$$

    Ответ: 1

11. F ∈ SK, KF : FS = 5:1 LF ∩ NK = W, LF ∩ MN = X Найти: SW, tg∠LWK и S_FSNX

    Эта часть задачи требует более детального анализа и, возможно, построения чертежа. Без него решение предоставить затруднительно.