14. Площадь основания призмы. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 24 см и образует с боковой гранью угол 30°. Вычисли площадь основания призмы.

Задача: Дана правильная четырехугольная призма, диагональ которой равна 24 см и образует угол 30° с боковой гранью. Нужно найти площадь основания призмы. Решение: 1. Обозначим сторону основания призмы как \(a\), а высоту призмы как \(h\). 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю призмы, стороной основания и высотой призмы. Угол между диагональю и боковой гранью равен 30°. 3. Используем тригонометрические функции для нахождения стороны основания \(a\) и высоты призмы \(h\). 4. Диагональ основания \(d\) связана со стороной основания \(a\) соотношением: \(d = a\sqrt{2}\). 5. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю призмы (24 см), высотой призмы \(h\) и диагональю основания \(d\). Угол между диагональю призмы и боковой гранью (т.е. высотой \(h\)) равен 30°. Используем косинус угла 30°: \[cos(30°) = \frac{h}{24}] \[h = 24 \cdot cos(30°) = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}] Теперь, используем синус угла 30°: \[sin(30°) = \frac{d}{24}] \[d = 24 \cdot sin(30°) = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12\] Так как \(d = a\sqrt{2}\), то: \[a\sqrt{2} = 12\] \[a = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\] Площадь основания призмы \(S\) равна квадрату стороны основания: \[S = a^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72\] Ответ: Площадь основания призмы равна 72 квадратных сантиметра. **Ответ: 72**