Площадь основания усеченного конуса 4 дм² и 16 дм². Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основаниям. Найдите площадь сечения.

Пусть радиусы оснований равны \(r\) и \(R\), где \(R>r\). Из площадей оснований получаем:

\[\pi r^2=4,\qquad \pi R^2=16,\qquad \frac{R}{r}=\sqrt{\frac{16}{4}}=2.\]

Радиус сечения меняется линейно вдоль высоты усеченного конуса. На половине высоты радиус равен среднему арифметическому радиусов оснований:

\[r_{\text{сеч}}=\frac{R+r}{2}=\frac{2r+r}{2}=\frac{3r}{2}.\]

Площадь сечения относится к площади меньшего основания как квадрат отношения радиусов:

\[S_{\text{сеч}}=4\left(\frac{r_{\text{сеч}}}{r}\right)^2=4\left(\frac{3}{2}\right)^2=9\text{ дм}^2.\]

Ответ: 9 дм².