В конусе даны радиус основания R и высота H. Найдите ребро вписанного в него куба (рис. 159).

Обозначим ребро куба через \(a\). В осевом сечении конуса получаем равнобедренный треугольник высоты \(H\) с основанием \(2R\). Сечение куба плоскостью симметрии — прямоугольник ширины \(a\) и высоты \(a\).

На высоте \(a\) радиус конуса линейно уменьшается от \(R\) у основания до 0 у вершины, поэтому радиус сечения конуса равен \(R(1-a/H)\). Половина ширины прямоугольника равна этому радиусу:

\[\frac{a}{2}=R\left(1-\frac{a}{H}\right).\]

Решаем уравнение:

\[\frac{a}{2}=R-\frac{Ra}{H},\qquad a\left(\frac12+\frac{R}{H}\right)=R,\qquad a=\frac{2RH}{H+2R}.\]

Ответ: \(\dfrac{2RH}{H+2R}\).