Площадь полной поверхности конуса равна $$45\pi$$ дм². Развернутая на плоскость боковая поверхность конуса представляет собой сектор с углом в 60°. Найдите объем конуса.

Решение: 1. Площадь полной поверхности конуса складывается из площади боковой поверхности и площади основания: $$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$$ $$45\pi = S_{бок} + S_{осн}$$ 2. Зная угол сектора, можно найти отношение боковой поверхности конуса к площади круга с радиусом, равным образующей конуса (l). Угол сектора составляет $$\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$$ часть полного круга. Значит, площадь боковой поверхности равна $$\frac{1}{6}$$ площади круга радиуса l: $$S_{бок} = \frac{1}{6} \pi l^2$$ 3. Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса. Длина дуги сектора равна $$\frac{1}{6}$$ длины окружности радиуса l: $$2\pi r = \frac{1}{6} 2\pi l$$, где r - радиус основания конуса. Отсюда, $$r = \frac{l}{6}$$ 4. Площадь основания конуса: $$S_{осн} = \pi r^2 = \pi (\frac{l}{6})^2 = \frac{\pi l^2}{36}$$ 5. Подставим в уравнение для полной поверхности: $$45\pi = \frac{1}{6} \pi l^2 + \frac{\pi l^2}{36}$$ $$45 = \frac{1}{6} l^2 + \frac{l^2}{36}$$ $$45 = \frac{6l^2 + l^2}{36}$$ $$45 = \frac{7l^2}{36}$$ $$l^2 = \frac{45 \cdot 36}{7}$$ $$l = \sqrt{\frac{45 \cdot 36}{7}} = 6\sqrt{\frac{45}{7}}$$ 6. Найдем радиус основания конуса: $$r = \frac{l}{6} = \frac{6\sqrt{\frac{45}{7}}}{6} = \sqrt{\frac{45}{7}}$$ 7. Найдем высоту конуса (h) по теореме Пифагора: $$h^2 = l^2 - r^2$$ $$h^2 = \frac{45 \cdot 36}{7} - \frac{45}{7} = \frac{45(36 - 1)}{7} = \frac{45 \cdot 35}{7} = 45 \cdot 5 = 225$$ $$h = \sqrt{225} = 15$$ 8. Найдем объем конуса: $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (\sqrt{\frac{45}{7}})^2 \cdot 15 = \frac{1}{3} \pi \frac{45}{7} \cdot 15 = \pi \frac{45 \cdot 5}{7} = \frac{225\pi}{7}$$ Ответ: $$\frac{225\pi}{7}$$ дм³