**3.** Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды равна \(72+36\sqrt{3}\) см², а сторона основания — 12 см. Найдите апофему.

Ответ: 6 см

1. Шаг 1: Вычисление площади основания.

   Основание - правильный треугольник со стороной 12 см. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле: \[S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\] где a - сторона треугольника.

   Подставляем значения: \[S_{осн} = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{144 \sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}\] см².

2. Шаг 2: Вычисление площади боковой поверхности.

   Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: \[S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}\]

   Из условия известна площадь полной поверхности \(S_{полн} = 72 + 36\sqrt{3}\) см², а также площадь основания \(S_{осн} = 36\sqrt{3}\) см².

   Следовательно, площадь боковой поверхности равна: \[S_{бок} = S_{полн} - S_{осн} = (72 + 36\sqrt{3}) - 36\sqrt{3} = 72\] см².

3. Шаг 3: Вычисление апофемы.

   Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды также может быть вычислена по формуле: \[S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot l\] где P - периметр основания, l - апофема.

   Периметр основания равен: \[P = 3 \cdot a = 3 \cdot 12 = 36\] см.

   Подставляем значения в формулу площади боковой поверхности: \[72 = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot l\]

   Решаем уравнение относительно l: \[l = \frac{72 \cdot 2}{36} = \frac{144}{36} = 4\] см.

Ответ: 4 см