17. Площадь прямоугольного треугольника равна 8√3 3 . Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу. Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\[S = \frac{1}{2}ab\]

где a и b - катеты прямоугольного треугольника.

Пусть a - прилежащий катет к углу 30°, тогда b - противолежащий катет.

Тогда:

\[tg(30°) = \frac{b}{a}\] \[b = a \cdot tg(30°) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\]

Подставим в формулу площади:

\[S = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{6}\]

Из условия:

\[S = \frac{8\sqrt{3}}{3}\]

Тогда:

\[\frac{a^2 \sqrt{3}}{6} = \frac{8\sqrt{3}}{3}\] \[a^2 = \frac{8 \sqrt{3} \cdot 6}{3 \sqrt{3}} = \frac{8 \cdot 6}{3} = 8 \cdot 2 = 16\] \[a = \sqrt{16} = 4\]

Ответ: 4