12. Площадь прямоугольного треугольника равна \frac{392\sqrt{3}}{3}. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника за a и b, где a - катет, прилежащий к углу 30°, b - катет, противолежащий углу 30°.

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$

Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.

$$b = \frac{1}{2} \cdot c$$

$$tg(30^\circ) = \frac{b}{a}$$, $$tg(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$.

$$b = a \cdot tg(30^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$$

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{6}$$

$$\frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{392 \sqrt{3}}{3}$$

$$a^2 = \frac{392 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{6}{\sqrt{3}} = 392 \cdot 2 = 784$$

$$a = \sqrt{784} = 28$$

Ответ: 28