Площадь прямоугольного треугольника равна $$512\sqrt{3}$$. Один из острых углов равен $$30^\circ$$. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Давай решим эту задачу вместе! Нам дан прямоугольный треугольник, площадь которого известна, и один из острых углов равен 30 градусам. Нужно найти длину катета, лежащего напротив этого угла.

Обозначим катет, лежащий против угла в $$30^\circ$$ как $$a$$, а другой катет как $$b$$. Тогда площадь прямоугольного треугольника можно выразить как:

$$S = \frac{1}{2}ab$$

Также мы знаем, что в прямоугольном треугольнике против угла в $$30^\circ$$ лежит катет, равный половине гипотенузы. Но это нам здесь не понадобится. Зато мы можем использовать тангенс угла $$30^\circ$$. Тангенс угла - это отношение противолежащего катета к прилежащему:

$$tg(30^\circ) = \frac{a}{b}$$

Мы знаем, что $$tg(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$. Значит,

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{b}$$

Выразим $$b$$ через $$a$$:

$$b = a\sqrt{3}$$

Теперь подставим это выражение для $$b$$ в формулу площади:

$$S = \frac{1}{2}a(a\sqrt{3}) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$

Нам известно, что $$S = 512\sqrt{3}$$. Подставим это значение и решим уравнение относительно $$a$$:

$$512\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$

Умножим обе части уравнения на 2:

$$1024\sqrt{3} = a^2\sqrt{3}$$

Разделим обе части уравнения на $$\sqrt{3}$$:

$$1024 = a^2$$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$$a = \sqrt{1024} = 32$$

Итак, длина катета, лежащего напротив угла в $$30^\circ$$, равна 32.

Ответ: 32