7. Площадь прямоугольного треугольника равна 722√3 Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

$$ S = \frac{1}{2}ab $$

где a и b - катеты прямоугольного треугольника.

Пусть угол $$ \angle A = 30^\circ $$. Обозначим катет, лежащий против этого угла (то есть катет BC), как a. Тогда второй катет AC (катет, прилежащий к углу A) обозначим как b.

Известно, что площадь треугольника равна $$722\sqrt{3}$$. Запишем:

$$\frac{1}{2}ab = 722\sqrt{3}$$

В прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы. Тогда второй катет (b) можно выразить через первый катет (a) с использованием тангенса угла 30°:

$$\tan(30^\circ) = \frac{a}{b}$$ $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{b}$$ $$ b = a\sqrt{3}$$

Теперь подставим это выражение для b в формулу площади:

$$\frac{1}{2}a(a\sqrt{3}) = 722\sqrt{3}$$ $$\frac{1}{2}a^2\sqrt{3} = 722\sqrt{3}$$

Разделим обе части уравнения на $$\sqrt{3}$$:

$$\frac{1}{2}a^2 = 722$$ $$ a^2 = 1444$$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$$ a = \sqrt{1444} = 38$$

Таким образом, длина катета, лежащего напротив угла 30°, равна 38.

Ответ: 38