Площадь равнобедренного треугольника с углом при вершине 120° равна \(36\sqrt{3}\) см². Найдите стороны треугольника.

Решение: 1. **Обозначения:** - Пусть \(a\) – боковая сторона равнобедренного треугольника. - Угол при вершине равен 120°. 2. **Формула площади треугольника:** Площадь треугольника можно выразить через две стороны и синус угла между ними: \[S = \frac{1}{2} a^2 \sin(\gamma),\] где \(S\) – площадь треугольника, \(a\) – боковые стороны, \(\gamma\) – угол между ними. 3. **Подстановка известных значений:** По условию \(S = 36\sqrt{3}\) см² и \(\gamma = 120^\circ\). Подставим эти значения в формулу: \[36\sqrt{3} = \frac{1}{2} a^2 \sin(120^\circ).\] 4. **Значение синуса:** \(\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). 5. **Уравнение для \(a\):** Подставим значение синуса в уравнение: \[36\sqrt{3} = \frac{1}{2} a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.\] Упростим уравнение: \[36\sqrt{3} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}.\] Умножим обе части на 4: \[144\sqrt{3} = a^2 \sqrt{3}.\] Разделим обе части на \(\sqrt{3}\): \[144 = a^2.\] Извлечем квадратный корень: \[a = \sqrt{144} = 12.\] Таким образом, боковая сторона \(a = 12\) см. 6. **Нахождение основания:** Для нахождения основания \(b\) используем теорему косинусов: \[b^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(\gamma).\] Подставим известные значения: \[b^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12^2 \cos(120^\circ).\] \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\). \[b^2 = 144 + 144 - 2 \cdot 144 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 288 + 144 = 432.\] \[b = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3}.\] Основание равно \(12\sqrt{3}\) см. Ответ: Боковые стороны треугольника равны 12 см, основание равно \(12\sqrt{3}\) см. Развёрнутый ответ для школьника: Итак, у нас есть равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине равен 120 градусам, а площадь равна \(36\sqrt{3}\) квадратных сантиметров. Наша задача – найти длину всех сторон этого треугольника. Сначала мы использовали формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними: \(S = \frac{1}{2} a^2 \sin(\gamma)\), где \(a\) – боковые стороны, а \(\gamma\) – угол между ними. Подставив известные значения, мы нашли, что боковая сторона \(a\) равна 12 см. Затем, чтобы найти основание, мы использовали теорему косинусов: \(b^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(\gamma)\), где \(b\) – основание. Подставив известные значения, мы нашли, что основание равно \(12\sqrt{3}\) см. Таким образом, мы выяснили, что боковые стороны треугольника равны 12 см, а основание равно \(12\sqrt{3}\) см.