4 Площадь ромба равна 540 см², а одна из его диагоналей равна 4,5 дм. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба.

Решение:

1. Переведем все величины в сантиметры: 4,5 дм = 45 см.

2. Найдем вторую диагональ ромба. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$$S = \frac{1}{2}d_1d_2$$ $$d_2 = \frac{2S}{d_1} = \frac{2 \cdot 540}{45} = \frac{1080}{45} = 24 \text{ см}$$

3. Найдем сторону ромба. Половины диагоналей равны 45/2 = 22.5 см и 24/2 = 12 см. Сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей. По теореме Пифагора:

$$a = \sqrt{22.5^2 + 12^2} = \sqrt{506.25 + 144} = \sqrt{650.25} = 25.5 \text{ см}$$

4. Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба - это высота прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей, опущенная из прямого угла на гипотенузу (сторону ромба). Площадь этого треугольника равна половине произведения катетов и половине произведения гипотенузы на высоту:

$$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 22.5 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 25.5 \cdot h$$ $$h = \frac{22.5 \cdot 12}{25.5} = \frac{270}{25.5} = 10.59 \text{ см}$$

Ответ: 10.59 см