15. Площадь прямоугольного треугольника равна 968 √3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежаще- го напротив этого угла.

Ответ: 88

1. Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения его катетов. Пусть a - катет, лежащий напротив угла 30°, а b - другой катет. Тогда: \[S = \frac{1}{2}ab\]
2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы. Другой катет b можно найти, используя тангенс угла 30°: \[\tan(30^\circ) = \frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}}{3}\] Отсюда: \[b = a \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = a\sqrt{3}\]
3. Подставим выражение для b в формулу площади: \[S = \frac{1}{2}a(a\sqrt{3}) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\]
4. Теперь выразим a² через площадь: \[a^2 = \frac{2S}{\sqrt{3}}\] Подставим значение площади: \[a^2 = \frac{2 \cdot 968\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \cdot 968 = 1936\]
5. Найдем a, извлекая квадратный корень: \[a = \sqrt{1936} = 44\cdot 2 = 88\]

Ответ: 88