Плоскости α и β пересекаются по прямой c. Точка, лежащая в плоскости α, удалена от плоскости β на $$2\sqrt{2}$$ см, а от прямой c – на 4 см. Угол между α и β равен?

Пусть дана точка A в плоскости α. Опустим перпендикуляр AB на плоскость β и перпендикуляр AC на прямую c. Тогда AB = $$2\sqrt{2}$$ см и AC = 4 см. Угол между плоскостями α и β равен углу между перпендикуляром AB и его проекцией на плоскость β, которая лежит на прямой c.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. В этом треугольнике AB - катет, AC - гипотенуза, а угол ACB - искомый угол. Синус угла ACB равен отношению противолежащего катета AB к гипотенузе AC:

$$\sin(\angle ACB) = \frac{AB}{AC} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Значение синуса равно $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ для угла 45°. Значит, угол между плоскостями α и β равен 45°.

Ответ: 45°