4*. По данным рисунка докажите, что $$BD = \frac{3}{4}AB$$.

Рассмотрим треугольник ABC. Угол C равен 90 градусов (прямоугольный треугольник). Пусть CD - высота, проведенная к гипотенузе AB. Пусть BC = 2x, CD = x (как указано на рисунке). 1. Рассмотрим треугольник BCD. Он прямоугольный, так как угол D равен 90 градусам. По теореме Пифагора: $$BD^2 + CD^2 = BC^2$$, следовательно $$BD^2 = BC^2 - CD^2 = (2x)^2 - x^2 = 4x^2 - x^2 = 3x^2$$. Значит, $$BD = x\sqrt{3}$$. 2. Рассмотрим треугольник ACD. Он прямоугольный, так как угол D равен 90 градусам. По теореме Пифагора: $$AC^2 = AD^2 + CD^2$$, $$AC^2 = AD^2 + x^2$$ 3. Рассмотрим треугольник ABC. Он прямоугольный, так как угол C равен 90 градусов. По теореме Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$. Подставим известные значения: $$AB^2 = AD^2 + x^2 + (2x)^2 = AD^2 + 5x^2$$. $$AB = AD + BD$$, тогда $$AD = AB - BD = AB - x\sqrt{3}$$. $$AB^2 = (AB - x\sqrt{3})^2 + 5x^2$$. $$AB^2 = AB^2 - 2ABx\sqrt{3} + 3x^2 + 5x^2$$. $$0 = -2ABx\sqrt{3} + 8x^2$$. $$2ABx\sqrt{3} = 8x^2$$. $$AB = \frac{8x^2}{2x\sqrt{3}} = \frac{4x}{\sqrt{3}}$$. 4. Проверим, верно ли, что $$BD = \frac{3}{4}AB$$. Подставим значения: $$x\sqrt{3} = \frac{3}{4} * \frac{4x}{\sqrt{3}}$$. $$x\sqrt{3} = \frac{3x}{\sqrt{3}}$$. $$x\sqrt{3} = \frac{3x\sqrt{3}}{3}$$. $$x\sqrt{3} = x\sqrt{3}$$. Таким образом, равенство $$BD = \frac{3}{4}AB$$ доказано.