2. По данным рисунка найдите основание АС равнобедренного треугольника АВС.

Разбираемся:

В равнобедренном треугольнике ABC высота BH, проведенная к основанию AC, является также медианой. Значит, AH = HC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол A = 45°, значит, угол ABH тоже равен 45° (так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°). Следовательно, треугольник ABH равнобедренный, и AH = BH.

Дано, что AB = 8 см. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABH катеты AH и BH равны. Но нам нужно найти AH.

Используем теорему Пифагора для треугольника ABH:

\[AH^2 + BH^2 = AB^2\]

Так как AH = BH, то:

\[2 \cdot AH^2 = AB^2\]

\[AH^2 = \frac{AB^2}{2}\]

\[AH = \frac{AB}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}}\]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):

\[AH = \frac{8 \sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2}\]

Теперь найдем AC, учитывая, что AC = 2 \cdot AH:

\[AC = 2 \cdot 4 \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}\]

Ответ: \(8 \sqrt{2}\) см

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что AH = HC и AH² + BH² = AB². В данном случае AH = BH = 4√2, AC = 8√2.

Уровень Эксперт: Использование свойств равнобедренного прямоугольного треугольника и теоремы Пифагора позволяет точно определить длину основания.