3. В ромбе MNKP диагональ МК = 36 см. Найдите сторону ромба, если угол NPK равен 60°.

Логика такая:

В ромбе MNKP диагональ MK является биссектрисой угла NPK, поэтому угол MPK равен половине угла NPK:

\[\angle MPK = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\]

Рассмотрим треугольник MPK. Это равнобедренный треугольник (так как MP = PK, стороны ромба равны). Угол MPK = 30°. Значит, углы PMK и PKM равны:

\[\angle PMK = \angle PKM = \frac{180^\circ - 30^\circ}{2} = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ\]

Теперь рассмотрим треугольник, образованный половиной диагонали MK (назовем точку O, где диагонали пересекаются). Треугольник MPO прямоугольный. Угол MPO = 30°. MO = MK / 2 = 36 / 2 = 18 см.

В прямоугольном треугольнике MPO:

\[\sin(\angle MPK) = \frac{MO}{MP}\]

\[\sin(30^\circ) = \frac{18}{MP}\]

\[MP = \frac{18}{\sin(30^\circ)} = \frac{18}{0.5} = 36 \text{ см}\]

Итак, сторона ромба равна 36 см.

Ответ: 36 см

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что при угле NPK = 60° и диагонали MK = 36 см, сторона ромба также равна 36 см. Это особый случай ромба, где он состоит из двух равносторонних треугольников.

Редфлаг: В ромбе с углом 60° и известной диагональю, сторона может быть найдена через тригонометрические функции.