20. По прямолинейной автостраде (рис. 8) движутся равномерно: автобус — вправо со скоростью 20 м/с, легковой автомобиль влево со скоростью 15 м/с и мотоциклист - влево со скоростью 10 м/с. Координаты этих экипажей в момент начала наблюдения равны соответственно 500, 200 и -300 м. Написать их уравнения движения. Найти: а) координату автобуса через 5 с; б) координату легкового автомобиля и пройденный путь через 10 с; в) через какое время координата мотоциклиста будет равна -600 м; г) в какой момент времени автобус проезжал мимо дерева; д) где был легковой автомобиль за 20 с до начала наблюдения.

Решение:

Для начала запишем уравнения движения для каждого тела. Общий вид уравнения равномерного движения:

$$ x = x_0 + v_xt $$

где:

• (x) - координата тела в момент времени (t)
• (x_0) - начальная координата тела
• (v_x) - проекция скорости тела на ось X (положительна, если тело движется вправо, и отрицательна, если влево)
• (t) - время

Теперь запишем уравнения движения для каждого тела:

1. Автобус: (x_1 = 500 + 20t)
2. Легковой автомобиль: (x_2 = 200 - 15t)
3. Мотоциклист: (x_3 = -300 - 10t)

а) Координата автобуса через 5 с:

$$ x_1(5) = 500 + 20 cdot 5 = 500 + 100 = 600 ext{ м} $$

Ответ: 600 м

б) Координата легкового автомобиля через 10 с:

$$ x_2(10) = 200 - 15 cdot 10 = 200 - 150 = 50 ext{ м} $$

Пройденный путь легкового автомобиля через 10 с:

$$ s = |x_2(10) - x_2(0)| = |50 - 200| = |-150| = 150 ext{ м} $$

Ответ: координата 50 м, пройденный путь 150 м

в) Время, когда координата мотоциклиста будет равна -600 м:

$$ -600 = -300 - 10t $$ $$ 10t = 300 - 600 $$ $$ 10t = -300 $$ $$ t = -30 ext{ c} $$

Так как время не может быть отрицательным, то координата мотоциклиста никогда не будет равна -600 м, если отсчет времени начинается с момента наблюдения.

Ответ: такого времени не существует.

г) Предположим, что дерево находится в начале координат, то есть x = 0. Найдем, в какой момент времени автобус проезжал мимо дерева:

$$ 0 = 500 + 20t $$ $$ 20t = -500 $$ $$ t = -25 ext{ c} $$

Это означает, что автобус проехал мимо дерева за 25 секунд до начала наблюдения.

Ответ: за 25 с до начала наблюдения

д) Координата легкового автомобиля за 20 с до начала наблюдения (t = -20 с):

$$ x_2(-20) = 200 - 15 cdot (-20) = 200 + 300 = 500 ext{ м} $$

Ответ: 500 м