5. По рис. 60 найдите угол х, если угол AOD – тупой.

В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. \( \angle \)AOD - тупой, значит \( \angle \)AOD > 90°.

В треугольнике ABO \( \angle \)ABO = 30°. Значит, \( \angle \)BAO = 180° - (30° + \( \angle \)AOB). Угол AOB смежный с углом AOD, поэтому \( \angle \)AOB = 180° - \( \angle \)AOD. Так как \( \angle \)AOD > 90°, то \( \angle \)AOB < 90°.

В треугольнике ABC \( \angle \)ABC = 30°. Значит, \( \angle \)BAC = 180° - (30° + \( \angle \)ACB).

Пусть \( \angle \)DAO = y, тогда \( \angle \)BAC = y + \( \angle \)BAO. Так как \( \angle \)AOD - внешний угол треугольника COD, то \( \angle \)AOD = \( \angle \)OCD + \( \angle \)ODC, то есть \( \angle \)AOD = x + \( \angle \)ODC.

Рассмотрим треугольник ABO и применим теорему синусов:

\(\frac{AO}{\sin 30°} = \frac{7\sqrt{2}}{\sin (180° - \angle AOD)}\)

\(\frac{AO}{\frac{1}{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{\sin \angle AOD}\)

\(AO = \frac{7\sqrt{2}}{2\sin \angle AOD}\)

Рассмотрим треугольник COD и применим теорему синусов:

\(\frac{CO}{\sin \angle ODC} = \frac{7}{\sin \angle AOD}\)

\(CO = \frac{7\sin \angle ODC}{\sin \angle AOD}\)

В четырехугольнике ABCD \( \angle \)ABC + \( \angle \)ADC + \( \angle \)BCD + \( \angle \)BAD = 360°.

Рассмотрим треугольник AOD: \( \angle \)AOD + \( \angle \)ODA + \( \angle \)DAO = 180°

Рассмотрим треугольник BOC: \( \angle \)BOC + \( \angle \)OBC + \( \angle \)OCB = 180°

Угол \( \angle \)BOC = \( \angle \)AOD, как вертикальные. Значит, \( \angle \)ODA + \( \angle \)DAO = \( \angle \)OBC + \( \angle \)OCB.

Заметим, что по условию OA = OC, следовательно треугольник AOD = треугольнику COB.

Тогда х = 30°

Ответ: 30