По заданию на изображении, найдите sin(x), tg(x) и ctg(x), если cos(x) = -9/41 и π/2 < x < π.

Привет! Давай решим эту задачу вместе. Нам дано, что $$cos(x) = -\frac{9}{41}$$ и $$\frac{\pi}{2} < x < \pi$$. Это значит, что угол *x* находится во второй четверти.

1. Найдем sin(x):

Мы знаем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$.

Подставим известное значение cos(x):

$$sin^2(x) + \left(-\frac{9}{41}\right)^2 = 1$$ $$sin^2(x) + \frac{81}{1681} = 1$$ $$sin^2(x) = 1 - \frac{81}{1681}$$ $$sin^2(x) = \frac{1681 - 81}{1681}$$ $$sin^2(x) = \frac{1600}{1681}$$

Теперь извлечем квадратный корень. Важно помнить, что синус во второй четверти положительный, поэтому выбираем положительное значение корня:

$$sin(x) = \sqrt{\frac{1600}{1681}}$$ $$sin(x) = \frac{40}{41}$$

2. Найдем tg(x):

Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: $$tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$$.

Подставим найденные значения:

$$tg(x) = \frac{\frac{40}{41}}{-\frac{9}{41}}$$ $$tg(x) = \frac{40}{41} \cdot \left(-\frac{41}{9}\right)$$ $$tg(x) = -\frac{40}{9}$$

3. Найдем ctg(x):

Котангенс — это величина, обратная тангенсу: $$ctg(x) = \frac{1}{tg(x)}$$.

Тогда:

$$ctg(x) = \frac{1}{-\frac{40}{9}}$$ $$ctg(x) = -\frac{9}{40}$$

Ответ:

• $$sin(x) = \frac{40}{41}$$
• $$tg(x) = -\frac{40}{9}$$
• $$ctg(x) = -\frac{9}{40}$$