Побудуйте графік функції $$y = x^2 - 6x - 7$$. Користуючись графіком, знайдіть проміжок, на якому функція спадає.

Давайте побудуємо графік функції $$y = x^2 - 6x - 7$$, а потім визначимо проміжок, де функція спадає.

Перш за все, знайдемо вершину параболи. Абсциса вершини $$x_v$$ обчислюється за формулою:

У нашому випадку, $$a = 1$$ та $$b = -6$$. Підставимо ці значення у формулу:

Тепер знайдемо ординату вершини $$y_v$$, підставивши $$x_v = 3$$ у рівняння функції:

Отже, вершина параболи знаходиться у точці $$(3, -16)$$.

Тепер знайдемо точки перетину графіка з віссю x, розв'язавши рівняння $$x^2 - 6x - 7 = 0$$. Можна скористатися теоремою Вієта або дискримінантом. Використаємо теорему Вієта. Нам потрібно знайти два числа, які в сумі дають 6, а в добутку -7. Це числа 7 і -1. Тому,

Отже, графік перетинає вісь x в точках $$(-1, 0)$$ та $$(7, 0)$$.

Точка перетину з віссю y: підставимо x = 0 у рівняння функції:

Отже, графік перетинає вісь y в точці $$(0, -7)$$.

Тепер ми маємо достатньо точок, щоб схематично побудувати графік. Парабола відкривається вгору (оскільки a > 0), має вершину в точці (3, -16) і перетинає вісь x в точках (-1, 0) і (7, 0), а вісь y - в точці (0, -7).

Функція спадає на проміжку від $$-\infty$$ до абсциси вершини параболи, тобто до 3. Таким чином, функція спадає на проміжку $$(-\infty, 3]$$.

Відповідь: Функція спадає на проміжку $$(-\infty, 3]$$.