Побудуйте графік функції y = -x² - 4x - 2. Користуючись графіком, знайдіть: 1) область значень функції; 2) проміжок, на якому функція зростає.

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Розв'яжемо це завдання поетапно.

1. Побудова графіка функції $$y = -x^2 - 4x - 2$$.

Це квадратична функція, графіком якої є парабола.

a) Знайдемо вершину параболи. Абсциса вершини обчислюється за формулою:

$$x_v = -\frac{b}{2a}$$, де $$a = -1$$, $$b = -4$$.

$$x_v = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-4}{-2} = -2$$

Ордината вершини:

$$y_v = -(-2)^2 - 4 \cdot (-2) - 2 = -4 + 8 - 2 = 2$$

Отже, вершина параболи має координати $$(-2; 2)$$.

b) Знайдемо точки перетину з віссю $$x$$. Для цього розв'яжемо рівняння $$-x^2 - 4x - 2 = 0$$.

Помножимо обидві частини рівняння на -1: $$x^2 + 4x + 2 = 0$$.

Обчислимо дискримінант: $$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$$.

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{8}}{2} = \frac{-4 + 2\sqrt{2}}{2} = -2 + \sqrt{2} \approx -2 + 1.41 = -0.59$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{8}}{2} = \frac{-4 - 2\sqrt{2}}{2} = -2 - \sqrt{2} \approx -2 - 1.41 = -3.41$$

Отже, точки перетину з віссю $$x$$ приблизно $$(-0.59; 0)$$ та $$(-3.41; 0)$$.

c) Знайдемо точку перетину з віссю $$y$$. Для цього покладемо $$x = 0$$:

$$y = -0^2 - 4 \cdot 0 - 2 = -2$$

Отже, точка перетину з віссю $$y$$ є $$(0; -2)$$.

d) Парабола направлена вітками вниз, оскільки коефіцієнт при $$x^2$$ від'ємний ($$a = -1$$).

Тепер побудуємо графік, використовуючи ці дані.

2. Область значень функції.

Оскільки парабола відкривається вниз, найбільше значення функції досягається у вершині. Таким чином, область значень функції:

$$(-\infty; 2]$$

3. Проміжок, на якому функція зростає.

Функція зростає на проміжку від $$(-\infty)$$ до абсциси вершини параболи. Отже, функція зростає на проміжку:

$$(-\infty; -2]$$

Відповідь: Область значень функції: $$(-\infty; 2]$$. Функція зростає на проміжку: $$(-\infty; -2]$$.