Подарок упакован в коробку формы прямоугольного параллелепипеда с квадратом в основании. Длина обёрточной ленты равна 230 см. Если обернуть коробку, как на рисунке а, то не хватит 10 см. Если обернуть коробку, как на рисунке б, то на завязывание банта останется 30 см. Какова длина стороны основания коробки? Какова высота коробки?

Пусть a – длина стороны основания коробки, а h – высота коробки.

В первом случае (рисунок a) лента оборачивается вокруг коробки дважды по ширине и дважды по высоте. Таким образом, длина ленты равна $$2(a + h)$$. Так как ленты не хватает 10 см, то $$2(a + h) = 230 + 10 = 240$$.

Во втором случае (рисунок b) лента оборачивается вокруг коробки дважды по ширине и один раз по высоте. Таким образом, длина ленты равна $$2a + h$$. Так как остается 30 см ленты, то $$2a + h = 230 - 30 = 200$$.

Получаем систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2(a + h) = 240 \\ 2a + h = 200 \end{cases} $$

Упростим первое уравнение:

$$ \begin{cases} a + h = 120 \\ 2a + h = 200 \end{cases} $$

Выразим h из первого уравнения: $$h = 120 - a$$.

Подставим это во второе уравнение:

$$2a + (120 - a) = 200$$

Решим уравнение:

$$2a + 120 - a = 200$$

$$a = 200 - 120$$

$$a = 80$$

Теперь найдем высоту h:

$$h = 120 - a = 120 - 80 = 40$$

Ответ: Длина стороны основания коробки равна 80 см, высота коробки равна 40 см.