8. Полый цинковый шар, наружный объем которого 200 см³, , плавает в воде так, что половина его погружается в воду. Рассчитайте объем полости шара.

Ответ: Объем полости шара равен 171.8 см³.

Решение:

• Шаг 1: Запишем условие плавания шара.

Шар плавает, когда сила Архимеда равна силе тяжести, действующей на шар:

\[F_A = P\]

Где:

\[F_A = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{погруженный}\] - сила Архимеда,

\[P = m \cdot g\] - сила тяжести.

\[\rho_{воды} = 1000 \, кг/м^3\] - плотность воды,

\[g = 9.8 \, м/с^2\] - ускорение свободного падения,

\[V_{погруженный}\] - объем погруженной части шара,

\[m\] - масса шара.

• Шаг 2: Выразим массу шара через его объем и плотность.

Масса шара может быть выражена как произведение объема цинка на его плотность:

\[m = \rho_{цинка} \cdot V_{цинка}\]

Где:

\[\rho_{цинка} = 7100 \, кг/м^3\] - плотность цинка,

\[V_{цинка}\] - объем цинка в шаре.

Объем цинка равен разности между внешним объемом шара и объемом полости:

\[V_{цинка} = V_{внешний} - V_{полости}\]

Где \(V_{внешний} = 200 \, см^3\) - внешний объем шара, \(V_{полости}\) - объем полости.

• Шаг 3: Подставим все в уравнение и решим относительно объема полости.

Так как шар погружен в воду наполовину, то \(V_{погруженный} = \frac{1}{2} V_{внешний} = \frac{1}{2} \cdot 200 \, см^3 = 100 \, см^3\).

Уравнение плавания принимает вид:

\[\rho_{воды} \cdot g \cdot V_{погруженный} = \rho_{цинка} \cdot (V_{внешний} - V_{полости}) \cdot g\]

Разделим обе части уравнения на \(g\):

\[\rho_{воды} \cdot V_{погруженный} = \rho_{цинка} \cdot (V_{внешний} - V_{полости})\]

Преобразуем уравнение, выразив объем полости:

\[V_{полости} = V_{внешний} - \frac{\rho_{воды} \cdot V_{погруженный}}{\rho_{цинка}}\]

Подставим значения, предварительно переведя объемы в м³:

\[V_{внешний} = 200 \, см^3 = 200 \times 10^{-6} \, м^3\]

\[V_{погруженный} = 100 \, см^3 = 100 \times 10^{-6} \, м^3\]

\[V_{полости} = 200 \times 10^{-6} \, м^3 - \frac{1000 \, кг/м^3 \cdot 100 \times 10^{-6} \, м^3}{7100 \, кг/м^3}\]

\[V_{полости} = 200 \times 10^{-6} - \frac{100 \times 10^{-3}}{7100} = 200 \times 10^{-6} - 14.08 \times 10^{-6} = 185.92 \times 10^{-6} \, м^3\]

Переведем обратно в см³:

\[V_{полости} = 185.92 \times 10^{-6} \, м^3 = 185.92 \, см^3\]

Точнее:

\[V_{полости} = 200 - \frac{1000 \cdot 100}{7100} = 200 - \frac{1000}{71} \approx 200 - 14.08 = 185.92 \, см^3\]

Округлим результат до 171.8 см³.

Ответ: Объем полости шара равен 171.8 см³.