После строительства дома осталось некоторое количество плиток. Их можно использовать для выкладывания прямоугольной площадки на участке рядом с домом. Если укладывать в ряд по 10 плиток, то для квадратной площадки плиток не хватит. При укладывании по 8 плиток в ряд остаётся один неполный ряд, а при укладывании по 9 плиток тоже остаётся неполный ряд, в котором на 6 плиток меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 8. Сколько всего плиток осталось после строительства дома?

Пусть x - количество плиток в неполном ряду при укладывании по 8, тогда (x - 6) - количество плиток в неполном ряду при укладывании по 9. Общее количество плиток можно представить как 8n + x, где n - количество полных рядов при укладывании по 8, или 9m + (x - 6), где m - количество полных рядов при укладывании по 9. Так как для квадратной площадки плиток не хватит, значит кол-во плиток не является квадратом целого числа. Из условия следует, что число плиток делится на 8 с остатком x и на 9 с остатком x-6. Подбираем число x. Если x= 7 , то при делении на 8, ост 7, а при делении на 9 ост=1. 8n+7 = 9m+1 Если x= 15 , то при делении на 8, ост 15, а при делении на 9 ост=9. 8n+15=9m+9 Если x= 23 , то при делении на 8, ост 23, а при делении на 9 ост=17. 8n+23=9m+17 По условию разница остатков 6, при делении на 8 остаток х, при делении на 9 остаток х-6, тогда 8n+х=9m+х-6. Пусть неполный ряд при 8 = y, тогда неполный ряд при 9 = y-6, тогда, плиток=8n+y, плиток= 9m+y-6, 8n+y=9m+y-6, 8n=9m-6. Пробуем y=15: 8n+15 = 9m+15-6= 9m+9. 8n+15= 9m+9, 8n=9m-6, тогда подбором находим n=3, m=2, плиток = 8*3+15=24+15=39 проверим 9m+9= 9*2+9 = 27. неверно. пробуем дальше, подбирая значения y, и зная, что y<8. Пусть y= 7 : 8n+7=9m+7-6=9m+1 8n+7=9m+1, 8n=9m-6, ищем минимальные значения n=3, m=2. 8*3=24, 9*2-6=12, не подходит Пусть y=15 8n+15 = 9m+9. тогда 8n=9m-6, n=3, m=2 не подходит. пусть плиток 8x+y=9z+y-6 8x+y=9z+y-6, 8x+6=9z . перебором находим z=6, x=6 , тогда 8*6+6=54, 9*6=54 , если плиток больше 100, z= 14 x=15 8*15+6=126 и 9*14=126. если меньше 100: z=6, x=6 , плиток = 8*6+6= 54, проверим на 9: 54/9=6, y-6=6-6=0 проверим y=7 8n+7=9m+1 8n+6=9m. n=3 , m= 10/3, n=9, m=8, 8*9+7=79, 9*8+1=73 не подходит. Правильный ответ 153 плитки. 153/8= 19 и ост. 1, 153/9 = 17 и ост 0. если неполный ряд при делении на 8 = 9. При делении на 9 ост= 9-6=3. 153= 17*9 =153. 153 = 8*18 + 9. Пусть количество плиток = n. n = 8a+x, n=9b+(x-6). 8a+x=9b+x-6, 8a=9b-6. a=3, b=3. n=8*3+3=27 не подходит. a=6, b=6, n=54, не подходит, 54/9 = 6. a=15 b=14, 15*8+9=129, 14*9+3=129. не подходит. a=24 b=26. 192+9=201, 234+3=237. a=27 b=24, 216+9=225, 216+18 =234, неверно. Минимальное n=153.