14. После строительства дома осталось некоторое количество плиток. Их можно использовать для выкладывания прямоугольной площадки на участке рядом с домом. Если укладывать в ряд по 10 плиток, то для квадратной площадки плиток не хватает. При укладывании по 6 плиток в ряд остается один неполный ряд, а при укладывании по 7 – тоже остается неполный ряд, в котором на 4 плитки меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 8. Сколько всего плиток осталось после строительства дома?

Пусть x - количество плиток. При укладке по 6 плиток в ряд остается один неполный ряд, значит x = 6a + b, где a - количество полных рядов, b - количество плиток в неполном ряду, 0 < b < 6. Аналогично, при укладке по 7 плиток в ряд остается один неполный ряд, в котором на 4 плитки меньше, чем в неполном ряду при укладке по 8. Это означает, что x = 7c + d, где c - количество полных рядов, d - количество плиток в неполном ряду, 0 < d < 7, и что неполный ряд при укладке по 8 будет d + 4 плитки. Также сказано, что при укладке по 10 плиток не хватает для квадратной площадки, то есть x < 10 * 10 = 100. Если укладывать по 8 плиток, то x = 8e + (d + 4), где e - количество полных рядов, d + 4 < 8, значит d < 4. Так как d < 4 и 0 < d < 7, то d может быть 1, 2 или 3. Рассмотрим возможные значения x: x = 7c + d. Если d = 1, то x = 7c + 1. Если d = 2, то x = 7c + 2. Если d = 3, то x = 7c + 3. Теперь подставим эти значения в уравнение x = 6a + b. Если x = 7c + 1, то 7c + 1 = 6a + b. Если x = 7c + 2, то 7c + 2 = 6a + b. Если x = 7c + 3, то 7c + 3 = 6a + b. Если x = 7c + 1 и d < 4, то при укладке по 8, остаток будет d + 4 = 5. Тогда x = 8e + 5. Приравниваем: 7c + 1 = 8e + 5. 7c - 8e = 4. Если x = 7c + 2, то при укладке по 8 остаток будет 6. Тогда x = 8e + 6. Приравниваем: 7c + 2 = 8e + 6. 7c - 8e = 4. Если x = 7c + 3, то при укладке по 8 остаток будет 7. Тогда x = 8e + 7. Приравниваем: 7c + 3 = 8e + 7. 7c - 8e = 4. Решим уравнение 7c - 8e = 4. Одно из решений: c = 4, e = 3. Тогда x = 7 * 4 + 1 = 29, x = 7 * 4 + 2 = 30, x = 7 * 4 + 3 = 31. Если x = 29, то при укладке по 6: 29 = 6 * 4 + 5 (остаток 5). Если x = 30, то при укладке по 6: 30 = 6 * 5 + 0 (остаток 0). Если x = 31, то при укладке по 6: 31 = 6 * 5 + 1 (остаток 1). Под условие подходит x = 29, т.к. должен быть неполный ряд. Также, x = 29 < 100. Ответ: 29 плиток.