Построить график функции f(x) = x² + 2x + 1, найти: 1) область определения и область значения; 2) нули функции; 3) ось симметрии; 4) где f(x) > 0 и где f(x) < 0; 5) промежутки возрастания и убывания функции.

Преобразуем функцию: \(f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2\). Это парабола с вершиной \((-1,0)\), ветви направлены вверх.

1) Квадратичная функция определена при всех действительных \(x\). Поскольку квадрат неотрицателен, область значений — \([0; +\infty)\).

2) \((x+1)^2=0\), поэтому единственный нуль функции: \(x=-1\).

3) Ось симметрии проходит через вершину: \(x=-1\).

4) Квадрат положителен при \(x\ne-1\), а отрицательным не бывает. Следовательно, \(f(x)>0\) при \(x\in(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)\), а \(f(x)<0\) решений не имеет.

5) До вершины функция убывает, после вершины возрастает: убывает на \((-\infty;-1]\), возрастает на \([-1;+\infty)\).