22. Построй график функции $$y = \frac{2x-5}{5x-2x^2}$$ и определи, при каком значении k прямая $$y = kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Разберем по шагам решение данной задачи. 1. Упрощение функции Сначала упростим выражение для функции $$y = \frac{2x-5}{5x-2x^2}$$. Вынесем $$x$$ из знаменателя: $$y = \frac{2x-5}{x(5-2x)}$$ 2. Поиск ОДЗ Область допустимых значений (ОДЗ) определяется из условия, что знаменатель не равен нулю: $$x(5-2x)
eq 0$$ Это означает, что $$x
eq 0$$ и $$5-2x
eq 0$$, то есть $$x
eq \frac{5}{2}$$. 3. Анализ пересечения с прямой y = kx Чтобы найти точки пересечения графика функции $$y = \frac{2x-5}{x(5-2x)}$$ с прямой $$y = kx$$, приравняем их: $$kx = \frac{2x-5}{x(5-2x)}$$ Умножим обе части на $$x(5-2x)$$ (с учетом ОДЗ): $$kx^2(5-2x) = 2x-5$$ $$5kx^2 - 2kx^3 = 2x - 5$$ $$2kx^3 - 5kx^2 + 2x - 5 = 0$$ 4. Условие одной общей точки Для того чтобы прямая $$y = kx$$ имела с графиком функции ровно одну общую точку, уравнение $$2kx^3 - 5kx^2 + 2x - 5 = 0$$ должно иметь ровно одно решение (с учетом ОДЗ). Заметим, что при $$x = \frac{5}{2}$$ знаменатель исходной функции обращается в ноль, поэтому это значение нужно исключить. 5. Анализ уравнения при различных k Рассмотрим случаи: * Если $$k = 0$$, то уравнение принимает вид $$2x - 5 = 0$$, откуда $$x = \frac{5}{2}$$. Но это значение исключено из ОДЗ, поэтому $$k = 0$$ не подходит. * Если $$k
eq 0$$, то имеем кубическое уравнение. Для упрощения анализа можно попробовать разложить на множители или использовать численные методы. $$2kx^3 - 5kx^2 + 2x - 5 = kx^2(2x - 5) + (2x - 5) = (kx^2 + 1)(2x - 5) = 0$$ Отсюда либо $$2x - 5 = 0$$, либо $$kx^2 + 1 = 0$$. $$2x - 5 = 0$$ дает $$x = \frac{5}{2}$$, что не входит в ОДЗ. Рассмотрим $$kx^2 + 1 = 0$$. Это уравнение имеет решение, если $$kx^2 = -1$$, то есть $$x^2 = -\frac{1}{k}$$. Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо, чтобы $$-\frac{1}{k} > 0$$, что означает $$k < 0$$. В этом случае $$x = \pm \sqrt{-\frac{1}{k}}$$. 6. Окончательный вывод Для того чтобы прямая $$y=kx$$ имела ровно одну общую точку с графиком функции, необходимо чтобы уравнение $$kx^2 + 1 = 0$$ не имело решений, так как $$x = \frac{5}{2}$$ не входит в ОДЗ. Это возможно, если $$k > 0$$. Однако, если $$k = 0$$, то прямая $$y = 0$$ пересекает график функции в точке, где $$2x - 5 = 0$$, то есть $$x = \frac{5}{2}$$, что исключено из ОДЗ. Значит, прямая $$y = 0$$ не имеет общих точек с графиком функции. Также стоит рассмотреть случай, когда $$kx^2 + 1 = 0$$ имеет решение, которое не входит в ОДЗ. Если $$x = \pm \sqrt{-\frac{1}{k}} = \frac{5}{2}$$, то $$-\frac{1}{k} = \frac{25}{4}$$, откуда $$k = -\frac{4}{25}$$. В этом случае $$y = kx = -\frac{4}{25}x$$. Подставим в исходное уравнение: $$\frac{2x - 5}{x(5 - 2x)} = -\frac{4}{25}x$$ $$25(2x - 5) = -4x^2(5 - 2x)$$ $$50x - 125 = -20x^2 + 8x^3$$ $$8x^3 - 20x^2 - 50x + 125 = 0$$ $$(2x - 5)(4x^2 - 25) = 0$$ $$(2x - 5)(2x - 5)(2x + 5) = 0$$ $$(2x - 5)^2(2x + 5) = 0$$ Получаем $$x = \frac{5}{2}$$ (не входит в ОДЗ) и $$x = -\frac{5}{2}$$. Значит, при $$k = -\frac{4}{25}$$ прямая имеет одну общую точку с графиком функции. Ответ: $$k = -\frac{4}{25}$$