Постройте фигуру, ограниченную линиями: y = x² + 3, x = -3, x = 2, y = 0 (ось Ох). Найдите её площадь.

Привет! Давай найдем площадь этой фигуры.

Итак, у нас есть фигура, ограниченная:

• Параболой: y = x² + 3
• Вертикальными линиями: x = -3 и x = 2
• Осью Ox: y = 0

Шаг 1: Анализируем функцию

Функция y = x² + 3 — это парабола, ветви которой направлены вверх. Ее вершина находится в точке (0; 3). Важно, что все значения y для этой функции будут положительными (x² всегда >= 0, а +3 делает результат еще больше).

Шаг 2: Определяем границы

Нас интересует область между x = -3 и x = 2. Поскольку вся парабола y = x² + 3 находится ВЫШЕ оси Ox (y = 0), площадь будет считаться как интеграл от функции y = x² + 3 по оси x от -3 до 2.

Шаг 3: Рассчитываем площадь с помощью интеграла

Формула площади (S) будет выглядеть так:

S = ∫[-3, 2] (x² + 3) dx

Вычислим первообразную:

∫(x² + 3) dx = x³/3 + 3x

Теперь подставим пределы интегрирования:

S = [x³/3 + 3x] от -3 до 2

Подставляем верхний предел (x=2):

(2³/3 + 3*2) = (8/3 + 6) = 8/3 + 18/3 = 26/3

Подставляем нижний предел (x=-3):

((-3)³/3 + 3*(-3)) = (-27/3 - 9) = (-9 - 9) = -18

Теперь вычитаем значение нижнего предела из значения верхнего:

S = (26/3) - (-18) = 26/3 + 18 = 26/3 + 54/3 = 80/3

Ответ: Площадь фигуры равна 80/3.