Постройте фигуру, ограниченную линиями: y = -x² + 6, x = -2, x = 2, y = 0 (ось Ох). Найдите её площадь.

Привет! Давай найдем площадь этой фигуры.

У нас есть фигура, ограниченная:

• Параболой: y = -x² + 6
• Вертикальными линиями: x = -2 и x = 2
• Осью Ox: y = 0

Шаг 1: Анализ функции

Функция y = -x² + 6 — это парабола, ветви которой направлены вниз. Ее вершина находится в точке (0; 6).

Шаг 2: Определение области

Нам нужно найти площадь между x = -2 и x = 2. Для этого найдем точки пересечения параболы с осью Ox, то есть когда y = 0:

-x² + 6 = 0

x² = 6

x = ±√6

√6 приблизительно равно 2.45.

Это означает, что в пределах от x = -2 до x = 2 вся парабола находится ВЫШЕ оси Ox, так как -2 > -√6 и 2 < √6.

Шаг 3: Расчет площади с помощью интеграла

Поскольку фигура находится выше оси Ox, площадь (S) вычисляется как определенный интеграл:

S = ∫[-2, 2] (-x² + 6) dx

Вычислим первообразную:

∫(-x² + 6) dx = -x³/3 + 6x

Теперь подставим пределы интегрирования:

S = [-x³/3 + 6x] от -2 до 2

Подставляем верхний предел (x=2):

(-(2)³/3 + 6*2) = (-8/3 + 12) = -8/3 + 36/3 = 28/3

Подставляем нижний предел (x=-2):

(-(-2)³/3 + 6*(-2)) = (-(-8)/3 - 12) = (8/3 - 12) = 8/3 - 36/3 = -28/3

Теперь вычитаем значение нижнего предела из значения верхнего:

S = (28/3) - (-28/3) = 28/3 + 28/3 = 56/3

Ответ: Площадь фигуры равна 56/3.