Постройте график функции у = х²-2x-|x²-4|-3 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Рассмотрим функцию $$y = x^2 - 2x - |x^2 - 4| - 3$$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $$x^2 - 4 \geq 0$$, то $$|x^2 - 4| = x^2 - 4$$. В этом случае $$y = x^2 - 2x - (x^2 - 4) - 3 = x^2 - 2x - x^2 + 4 - 3 = -2x + 1$$. $$x^2 - 4 \geq 0$$ выполняется, когда $$x \leq -2$$ или $$x \geq 2$$.
2. Если $$x^2 - 4 < 0$$, то $$|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = -x^2 + 4$$. В этом случае $$y = x^2 - 2x - (-x^2 + 4) - 3 = x^2 - 2x + x^2 - 4 - 3 = 2x^2 - 2x - 7$$. $$x^2 - 4 < 0$$ выполняется, когда $$-2 < x < 2$$.

Итак, функция имеет вид: $$y = \begin{cases} -2x + 1, & x \leq -2 \\ 2x^2 - 2x - 7, & -2 < x < 2 \\ -2x + 1, & x \geq 2 \end{cases}$$

Найдем значения функции в точках $$x = -2$$ и $$x = 2$$.

$$y(-2) = -2(-2) + 1 = 4 + 1 = 5$$.

$$y(2) = -2(2) + 1 = -4 + 1 = -3$$.

Теперь рассмотрим параболу $$y = 2x^2 - 2x - 7$$ на интервале $$-2 < x < 2$$.

Найдем вершину параболы: $$x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{2}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$$.

$$y_в = 2(\frac{1}{2})^2 - 2(\frac{1}{2}) - 7 = 2 \cdot \frac{1}{4} - 1 - 7 = \frac{1}{2} - 8 = -7.5$$.

Таким образом, вершина параболы имеет координаты $$(\frac{1}{2}, -7.5)$$.

Определим значения функции в точках $$x = -2$$ и $$x = 2$$ на участке параболы:

$$y(-2) = 2(-2)^2 - 2(-2) - 7 = 8 + 4 - 7 = 5$$.

$$y(2) = 2(2)^2 - 2(2) - 7 = 8 - 4 - 7 = -3$$.

Графиком функции является кусочно-линейная функция и парабола. Прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки, если она проходит через вершину параболы, то есть $$m = -7.5$$, или через точки соединения прямой и параболы, то есть $$m = 5$$ и $$m=-3$$.

Итак, прямая $$y = m$$ имеет ровно две общие точки с графиком функции при $$m = -7.5$$ или при $$m = 5$$ или при $$m = -3$$.

Ответ: $$m = -7.5$$, $$m = 5$$, $$m = -3$$.