Постройте график функции и опишите её свойства: а) \(y=\frac{1}{3}x^2-4x+4\); б) \(y=-\frac{1}{4}x^2+x-1\); в) \(y=x^2+3x\).

Для каждой функции найдём вершину и направление ветвей параболы. Графики построены по формулам функций.

а) Выделим полный квадрат: \(y=\frac{1}{3}(x-6)^2-8\). Вершина — \((6;-8)\), ось симметрии — \(x=6\), ветви направлены вверх. Область определения: \(\mathbb{R}\); область значений: \([-8;+\infty)\). Функция убывает на \((-\infty;6]\) и возрастает на \([6;+\infty)\). Нули: \(x=6\pm2\sqrt{6}\).

б) \(y=-\frac{1}{4}(x-2)^2\). Вершина — \((2;0)\), ось симметрии — \(x=2\), ветви направлены вниз. Область определения: \(\mathbb{R}\); область значений: \((-\infty;0]\). Функция возрастает на \((-\infty;2]\) и убывает на \([2;+\infty)\). Нуль: \(x=2\).

в) \(y=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}\). Вершина — \((-\frac{3}{2};-\frac{9}{4})\), ось симметрии — \(x=-\frac{3}{2}\), ветви направлены вверх. Область определения: \(\mathbb{R}\); область значений: \([-\frac{9}{4};+\infty)\). Функция убывает на \((-\infty;-\frac{3}{2}]\) и возрастает на \([-\frac{3}{2};+\infty)\). Нули: \(x=-3\) и \(x=0\).