Постройте график функции у =\frac{(x^2 + 7x + 12)(x^2 - x - 2)}{x^2 + 5x + 4} и определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Разложим квадратные трехчлены на множители:

• \(x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)\)
• \(x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)\)
• \(x^2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)\)

Тогда функция примет вид:

Сократим общие множители \((x + 1)\) и \((x + 4)\) при условии, что \(x
eq -1\) и \(x
eq -4\). Получаем:

Таким образом, \(y = x^2 + x - 6\) при \(x
eq -1\) и \(x
eq -4\).

Упрощенная функция \(y = x^2 + x - 6\) является параболой. Найдем вершину параболы:

Вершина параболы находится в точке \((-0.5, -6.25)\).

Теперь учтем исключенные точки \(x = -1\) и \(x = -4\). Найдем соответствующие значения \(y\):

• Если \(x = -1\), то \(y = (-1)^2 + (-1) - 6 = 1 - 1 - 6 = -6\). На графике есть выколотая точка \((-1, -6)\).
• Если \(x = -4\), то \(y = (-4)^2 + (-4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6\). На графике есть выколотая точка \((-4, 6)\).

Прямая \(y = m\) имеет ровно одну общую точку с графиком, если она проходит через вершину параболы или через одну из выколотых точек.

• Прямая проходит через вершину параболы: \(m = -6.25\)
• Прямая проходит через выколотую точку \((-1, -6)\): \(m = -6\)
• Прямая проходит через выколотую точку \((-4, 6)\): \(m = 6\)

Таким образом, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку при \(m = -6.25\), \(m = -6\) и \(m = 6\).

Ответ: m = -6.25, m = -6, m = 6