24. Тип 24 № 51 В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны АВ. Известно, что ЕС=ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Дано: параллелограмм \(ABCD\), точка \(E\) - середина \(AB\), \(EC = ED\).

Нужно доказать: \(ABCD\) - прямоугольник.

Рассмотрим треугольники \(\triangle BCE\) и \(\triangle ADE\). У них:

• \(AE = BE\) (так как \(E\) - середина \(AB\))
• \(BC = AD\) (как противоположные стороны параллелограмма)
• \(EC = ED\) (по условию)

Следовательно, \(\triangle BCE = \triangle ADE\) по трем сторонам (SSS).

Из равенства треугольников следует, что \(\angle CBE = \angle DAE\).

Так как \(ABCD\) - параллелограмм, то \(\angle ABC = \angle ADC\) и \(\angle BCD = \angle BAD\).

Значит, \(\angle ABC = \angle ADC = \angle CBE = \angle DAE\).

Так как \(EC = ED\), то \(\triangle ECD\) - равнобедренный. Пусть \(\angle CED = \alpha\), тогда \(\angle EDC = \angle ECD = (180^\circ - \alpha) / 2 = 90^\circ - \alpha/2\).

В параллелограмме \(ABCD\) сумма углов \(\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ\).

Также \(\angle BAD + \angle ADC = 180^\circ\).

Поскольку \(\triangle BCE = \triangle ADE\), то \(\angle BCE = \angle ADE\). Обозначим \(\angle BCE = x\).

Тогда \(\angle ECD = \angle EDC = 90^\circ - \alpha/2\).

Значит, \(\angle BCD = x + 90^\circ - \alpha/2\) и \(\angle ADC = x + 90^\circ - \alpha/2\).

Но \(\angle ABC = \angle ADC\), следовательно, \(\angle ABC = x + 90^\circ - \alpha/2\).

Так как \(\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ\), то \((x + 90^\circ - \alpha/2) + (x + 90^\circ - \alpha/2) = 180^\circ\).

Отсюда \(2x + 180^\circ - \alpha = 180^\circ\), значит \(2x = \alpha\) и \(x = \alpha/2\).

Теперь \(\angle ABC = x + 90^\circ - \alpha/2 = \alpha/2 + 90^\circ - \alpha/2 = 90^\circ\).

Таким образом, \(\angle ABC = 90^\circ\), и следовательно, \(ABCD\) - прямоугольник.

Ответ: Параллелограмм ABCD - прямоугольник.