Постройте график функции у = \frac{-2x^4+10x^2-8}{(x-1)(x+2)} и определите, при каких значениях с прямая ... общую точку.

Ответ: График построен.

Упростим функцию:

\[y = \frac{-2x^4+10x^2-8}{(x-1)(x+2)}\]

Разложим числитель на множители:

\[-2x^4+10x^2-8 = -2(x^4 - 5x^2 + 4) = -2(x^2 - 1)(x^2 - 4) = -2(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)\]

Тогда функция примет вид:

\[y = \frac{-2(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)}{(x-1)(x+2)}\]

Сократим дробь на (x-1)(x+2), учитывая, что x ≠ 1 и x ≠ -2:

\[y = -2(x + 1)(x - 2) = -2(x^2 - 2x + x - 2) = -2(x^2 - x - 2) = -2x^2 + 2x + 4\]

Таким образом, упрощенная функция:

\[y = -2x^2 + 2x + 4\]

Это парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем вершину параболы:

\[x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2 \cdot (-2)} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} = 0.5\]\[y_в = -2(0.5)^2 + 2(0.5) + 4 = -2(0.25) + 1 + 4 = -0.5 + 5 = 4.5\]

Вершина параболы находится в точке (0.5; 4.5).

Найдем точки пересечения с осью x (y = 0):

\[-2x^2 + 2x + 4 = 0\]\[x^2 - x - 2 = 0\]\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\]\[x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2\]\[x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]

Точки пересечения с осью x: (2; 0) и (-1; 0).

Найдем точку пересечения с осью y (x = 0):

\[y = -2(0)^2 + 2(0) + 4 = 4\]

Точка пересечения с осью y: (0; 4).

Поскольку x ≠ 1 и x ≠ -2, на графике будут "выколотые" точки:

При x = 1: y = -2(1)^2 + 2(1) + 4 = -2 + 2 + 4 = 4. Точка (1; 4) - выколотая.

При x = -2: y = -2(-2)^2 + 2(-2) + 4 = -2(4) - 4 + 4 = -8. Точка (-2; -8) - выколотая.

Ответ: График построен.