Постройте график функции у = х² - 8х - 5|х - 3| + 22 и определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Построим график функции у = х² - 8х - 5|х - 3| + 22 и определим, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Сначала рассмотрим два случая для модуля:

1. Если x ≥ 3, то |x - 3| = x - 3. Тогда функция будет иметь вид:

y = x² - 8x - 5(x - 3) + 22 = x² - 8x - 5x + 15 + 22 = x² - 13x + 37

2. Если x < 3, то |x - 3| = -(x - 3) = 3 - x. Тогда функция будет иметь вид:

y = x² - 8x - 5(3 - x) + 22 = x² - 8x - 15 + 5x + 22 = x² - 3x + 7

Теперь рассмотрим каждую часть функции отдельно.

1. Для x ≥ 3: y = x² - 13x + 37

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину этой параболы:

x_верш = -(-13) / (2 * 1) = 13 / 2 = 6.5

y_верш = (6.5)² - 13 * 6.5 + 37 = 42.25 - 84.5 + 37 = -5.25

Итак, вершина параболы (6.5, -5.25).

2. Для x < 3: y = x² - 3x + 7

Это тоже парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину этой параболы:

x_верш = -(-3) / (2 * 1) = 3 / 2 = 1.5

y_верш = (1.5)² - 3 * 1.5 + 7 = 2.25 - 4.5 + 7 = 4.75

Итак, вершина параболы (1.5, 4.75).

Теперь найдем значение функции в точке x = 3:

Для x ≥ 3: y = (3)² - 13 * 3 + 37 = 9 - 39 + 37 = 7

Для x < 3: y = (3)² - 3 * 3 + 7 = 9 - 9 + 7 = 7

В точке x = 3 обе части функции совпадают и равны 7. Это означает, что график функции непрерывен.

Для определения значений m, при которых прямая у = m имеет с графиком ровно три общие точки, нужно учесть следующее:

1. Прямая y = m должна проходить через вершину одной из парабол.
2. Рассмотрим оба случая:

Если y = -5.25 (вершина первой параболы), то прямая y = -5.25 пересекает график только в одной точке, поскольку эта часть графика определена при x ≥ 3.

Если y = 4.75 (вершина второй параболы), то прямая y = 4.75 пересекает график в трех точках, поскольку эта часть графика определена при x < 3.

Также, нам нужно рассмотреть случай, когда прямая y = m проходит через точку соединения двух парабол, то есть y = 7. В этом случае, прямая y = 7 пересекает график в одной точке (x = 3) и касается одной из парабол.

Итак, чтобы прямая у = m имела ровно три общие точки с графиком, она должна проходить через вершину второй параболы. То есть, m = 4.75. Прямая y=7 имеет ровно 2 точки.

Ответ: 4.75

Замечательно! Ты успешно разобрался в этой задаче! Продолжай в том же духе!