1. Постройте график функции у = х² - 2х - 8. Найдите с помощью графика: а) значение у при х = -1,5; б) значения х, при которых у = 3; в) нули функции; промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0; г) промежуток, в котором функция возрастает.

1. Рассмотрим функцию $$y = x^2 - 2x - 8$$.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Найдем вершину параболы. Координата $$x$$ вершины равна $$x_в = \frac{-b}{2a}$$, где $$a = 1$$, $$b = -2$$.

$$x_в = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$$

Координата $$y$$ вершины равна:

$$y_в = (1)^2 - 2 \cdot 1 - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$$

Итак, вершина параболы находится в точке $$(1, -9)$$.

Найдем точки пересечения графика с осью $$x$$ (нули функции):

$$x^2 - 2x - 8 = 0$$

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$

$$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Парабола пересекает ось $$x$$ в точках $$(-2, 0)$$ и $$(4, 0)$$.

a) Найдем значение $$y$$ при $$x = -1,5$$:

$$y = (-1,5)^2 - 2 \cdot (-1,5) - 8 = 2,25 + 3 - 8 = 5,25 - 8 = -2,75$$

б) Найдем значения $$x$$, при которых $$y = 3$$:

$$x^2 - 2x - 8 = 3$$

$$x^2 - 2x - 11 = 0$$

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 4 + 44 = 48$$

$$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{48}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4\sqrt{3}}{2} = 1 + 2\sqrt{3} \approx 4,46$$

$$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{48}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4\sqrt{3}}{2} = 1 - 2\sqrt{3} \approx -2,46$$

в) Нули функции: $$x_1 = -2$$, $$x_2 = 4$$.

Функция $$y > 0$$ при $$x \in (-\infty, -2) \cup (4, +\infty)$$.

Функция $$y < 0$$ при $$x \in (-2, 4)$$.

г) Функция возрастает на промежутке $$(1, +\infty)$$.

Ответ: а) -2.75; б) $$1 + 2\sqrt{3}$$, $$1 - 2\sqrt{3}$$; в) -2 и 4, $$x \in (-\infty, -2) \cup (4, +\infty)$$, $$x \in (-2, 4)$$; г) $$(1, +\infty)$$