Постройте график функции у = 1-7 7x-7 72-7х и определите, при каких значениях к прямая у = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Сначала упростим функцию: \[y = \frac{7x - 7}{7x^2 - 7x} = \frac{7(x - 1)}{7x(x - 1)}\] При \(x
eq 1\) и \(x
eq 0\), \(y = \frac{1}{x}\). Таким образом, график функции \(y = \frac{1}{x}\) с выколотой точкой при \(x = 1\) (то есть, \(y = 1\)). Прямая \(y = kx\) имеет с графиком функции ровно одну общую точку, если она касается графика или проходит через выколотую точку. Прямая \(y = kx\) проходит через выколотую точку (1; 1), если \(k = 1\). Прямая \(y = kx\) касается графика \(y = \frac{1}{x}\), когда уравнение \(kx = \frac{1}{x}\) имеет ровно одно решение. То есть, \(kx^2 = 1\), или \(x^2 = \frac{1}{k}\). Это уравнение имеет единственное решение, если \(k < 0\). Графически это означает, что прямая \(y = kx\) касается графика \(y = \frac{1}{x}\) при \(k < 0\). При \(k < 0\) прямая \(y = kx\) всегда пересекает график \(y = \frac{1}{x}\) в двух точках, за исключением случая касания. Найдем значение \(k\), при котором прямая касается графика. Для этого найдем производную функции \(y = \frac{1}{x}\): \[y' = -\frac{1}{x^2}\] В точке касания \(x_0\) должно выполняться условие \(k = -\frac{1}{x_0^2}\). Также в точке касания \(y = kx\) и \(y = \frac{1}{x}\), то есть \(kx_0 = \frac{1}{x_0}\). Отсюда \(k = \frac{1}{x_0^2}\). Сопоставляя два выражения для \(k\), получаем \(-\frac{1}{x_0^2} = \frac{1}{x_0^2}\), что невозможно. Но, если \(kx = \frac{1}{x}\), то \(kx^2 = 1\). Чтобы было одно решение, нужно чтобы \(k < 0\), то есть \(x = \pm \sqrt{\frac{1}{k}}\). Если же прямая \(y = kx\) проходит через точку (1,1), то \(k = -1/7\).