22. Постройте график функции у x²-5x²+4 (x+2)(x-1) и определите, чениях параметра с прямая у=с имеет с графиком ровн точку.

Шаг 1: Упрощение функции

Сначала упростим функцию, разложив числитель на множители:

\[y = \frac{x^4 - 5x^2 + 4}{(x+2)(x-1)}\]

\[x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 4)(x^2 - 1) = (x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1)\]

Тогда функция примет вид:

\[y = \frac{(x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1)}{(x+2)(x-1)}\]

Сокращаем (x+2) и (x-1), учитывая, что x ≠ -2 и x ≠ 1:

\[y = (x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2\] при x ≠ -2 и x ≠ 1

Шаг 2: Нахождение производной

Найдём производную функции:

\[y' = 2x - 1\]

Шаг 3: Нахождение критических точек

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[2x - 1 = 0\]

\[x = \frac{1}{2}\]

Шаг 4: Вычисление значения функции в критической точке

Найдём значение функции при x = 1/2:

\[y(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1 - 2 - 8}{4} = -\frac{9}{4} = -2.25\]

Шаг 5: Анализ точек разрыва

Определим значения функции в точках разрыва x = -2 и x = 1:

\[y(-2) = (-2)^2 - (-2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4\]

\[y(1) = (1)^2 - 1 - 2 = 1 - 1 - 2 = -2\]

Шаг 6: Определение значений параметра c

Прямая y = c имеет с графиком ровно одну точку, если она проходит через точку экстремума или через точку разрыва.

Значение параметра c в точке экстремума:

\[c = -\frac{9}{4} = -2.25\]

Рассмотрим случай, когда прямая проходит через одну из точек разрыва:

\[c = 4 \\ c = -2\]