Решение:

Рассмотрим функцию $$y = \begin{cases} x^2-6x+10, \text{ если } x \ge 1, \\ x+2, \text{ если } x < 1. \end{cases}$$

1) $$y = x^2 - 6x + 10$$ – парабола, ветви направлены вверх. Выделим полный квадрат: $$y = (x-3)^2 + 1$$. Вершина параболы в точке $$(3;1)$$. Так как рассматриваем $$x \ge 1$$, то строим часть параболы от $$x = 1$$. При $$x = 1$$, $$y = 1 - 6 + 10 = 5$$. Таким образом, на этом участке график начинается в точке $$(1;5)$$ и идет вправо от вершины.

2) $$y = x+2$$ – прямая. Так как рассматриваем $$x < 1$$, то строим часть прямой до $$x = 1$$. При $$x = 1$$, $$y = 1 + 2 = 3$$. Значит, на этом участке график заканчивается в точке $$(1;3)$$ (не включая ее).

Прямая $$y=m$$ – это горизонтальная прямая.

• $$m < 1$$: 0 точек пересечения
• $$m = 1$$: 1 точка пересечения
• $$1 < m < 3$$: 2 точки пересечения
• $$m = 3$$: 1 точка пересечения
• $$3 < m < 5$$: 2 точки пересечения
• $$m = 5$$: 1 точка пересечения
• $$m > 5$$: 1 точка пересечения

Ответ: $$1 < m < 3$$ или $$3 < m < 5$$