Решение

Для начала упростим выражение для функции:

$$y = \frac{(0,5x^2+x)|x|}{x+2} = \frac{0,5x(x+2)|x|}{x+2}$$

Учитывая, что $$x
eq -2$$, можно сократить на $$x+2$$:

$$y = 0,5x|x|$$ при $$x
eq -2$$

Рассмотрим два случая:

1. Если $$x \geq 0$$, то $$|x| = x$$, и тогда $$y = 0,5x \cdot x = 0,5x^2$$.
2. Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$, и тогда $$y = 0,5x \cdot (-x) = -0,5x^2$$.

Таким образом, график функции состоит из двух парабол:

• $$y = 0,5x^2$$ при $$x \geq 0$$
• $$y = -0,5x^2$$ при $$x < 0$$

При этом нужно помнить, что точка $$x = -2$$ исключена. Найдем значение функции в этой точке:

$$y(-2) = -0,5(-2)^2 = -0,5 \cdot 4 = -2$$

То есть, на графике будет "выколотая" точка (-2, -2).

Теперь определим, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Рассмотрим график функции:

• При $$m < -2$$ прямая $$y = m$$ не пересекает график.
• При $$m = -2$$ прямая $$y = m$$ проходит через "выколотую" точку, то есть не пересекает график.

Таким образом, прямая $$y = m$$ не имеет общих точек с графиком при $$m \leq -2$$.

Ответ: $$m \leq -2$$