Постройте график функции $$y = \frac{(x+4)(x^2 + 3x + 2)}{x+1}$$. Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Для начала упростим выражение для функции:

$$y = \frac{(x+4)(x^2 + 3x + 2)}{x+1} = \frac{(x+4)(x+1)(x+2)}{x+1}$$

При $$x
eq -1$$ функцию можно упростить до:

$$y = (x+4)(x+2) = x^2 + 6x + 8$$

Это парабола. Найдем вершину параболы:

$$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2} = -3$$

$$y_v = (-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$$

Координаты вершины: $$(-3, -1)$$.

Так как $$x
eq -1$$, нужно исключить точку на параболе, где $$x = -1$$:

$$y(-1) = (-1)^2 + 6(-1) + 8 = 1 - 6 + 8 = 3$$

Таким образом, на графике есть "выколотая" точка $$(-1, 3)$$.

Прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через вершину параболы или через "выколотую" точку.

Следовательно, $$m = -1$$ или $$m = 3$$.

Ответ:

• $$m = 3$$
• $$m = -1$$