Постройте график функции y = 4|x + 6| - x² - 11x - 30. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Для решения задачи необходимо построить график функции $$y = 4|x + 6| - x^2 - 11x - 30$$. Рассмотрим два случая:

1. Если $$x \ge -6$$, то $$|x + 6| = x + 6$$, и функция принимает вид: $$y = 4(x + 6) - x^2 - 11x - 30 = 4x + 24 - x^2 - 11x - 30 = -x^2 - 7x - 6$$
2. Если $$x < -6$$, то $$|x + 6| = -(x + 6)$$, и функция принимает вид: $$y = -4(x + 6) - x^2 - 11x - 30 = -4x - 24 - x^2 - 11x - 30 = -x^2 - 15x - 54$$

Таким образом, функция определяется следующим образом:

$$y = \begin{cases} -x^2 - 7x - 6, & \text{если } x \ge -6 \\ -x^2 - 15x - 54, & \text{если } x < -6 \end{cases}$$

Найдем вершину каждой параболы:

1. Для $$y = -x^2 - 7x - 6$$: $$x_в = -\frac{-7}{2(-1)} = -\frac{7}{2} = -3.5$$. Так как $$-3.5 \ge -6$$, эта вершина входит в рассматриваемый интервал. $$y_в = -(-3.5)^2 - 7(-3.5) - 6 = -12.25 + 24.5 - 6 = 6.25$$
2. Для $$y = -x^2 - 15x - 54$$: $$x_в = -\frac{-15}{2(-1)} = -\frac{15}{2} = -7.5$$. Так как $$-7.5 < -6$$, эта вершина входит в рассматриваемый интервал. $$y_в = -(-7.5)^2 - 15(-7.5) - 54 = -56.25 + 112.5 - 54 = 2.25$$

Теперь найдем значение функции в точке стыка $$x = -6$$:

$$y(-6) = -(-6)^2 - 7(-6) - 6 = -36 + 42 - 6 = 0$$

Также, $$y(-6) = -(-6)^2 - 15(-6) - 54 = -36 + 90 - 54 = 0$$.

График функции состоит из двух частей парабол, соединенных в точке (-6, 0). Прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно три общие точки, когда она проходит через вершину одной из парабол или через точку соединения парабол.

Визуализируем график функции:

Прямая $$y = m$$ может иметь с графиком три общие точки в следующих случаях:

• Когда $$m$$ равно ординате одной из вершин парабол. В нашем случае это $$m = 2.25$$ и $$m = 6.25$$.
• Когда $$m = 0$$, прямая $$y = 0$$ проходит через точку стыка двух частей парабол, и в этом случае у нас тоже будет три точки пересечения (одна в точке стыка и две другие точки).

Таким образом, $$m = 0$$, $$m = 2.25$$, или $$m = 6.25$$.

Ответ: m = 0; 2.25; 6.25