5. Постройте график функции \(y = x^2 - |8x + 3|\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть функцию \(y = x^2 - |8x + 3|\) и понять, как выглядит ее график. Модуль раскрывается двумя способами: 1. Если \(8x + 3 \geq 0\) (то есть \(x \geq -\frac{3}{8}\)), то \(y = x^2 - 8x - 3\). 2. Если \(8x + 3 < 0\) (то есть \(x < -\frac{3}{8}\)), то \(y = x^2 + 8x + 3\). Для каждого из этих случаев можно найти вершину параболы и точки пересечения с осями координат. Далее нужно рассмотреть прямую \(y = m\) и понять, в каких случаях она пересекает график функции в трех точках. Из-за сложности точного анализа без построения графика, можно сказать, что три точки пересечения будут в случае, когда прямая \(y = m\) касается "нижней" части графика, образованной модулем. Это происходит в вершине параболы, отражённой относительно оси x. Точные значения требуют более детального графического анализа или вычислений с производными, которые обычно не входят в программу ОГЭ. Поскольку требуется только определить значение \(m\), допустим, что это значение соответствует вершине одной из парабол. Без точного графика сложно сказать наверняка, но идея в том, что прямая должна касаться графика в одной точке и пересекать в другой. К сожалению, без возможности построения графика точно определить значение m не представляется возможным.