Постройте график функции y = 4x – x². Найдите: а) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [0; 3]; б) промежутки возрастания и убывания функции; в) решения неравенства 4x – x² < 0.

Решение:

1. Построение графика функции ( y = 4x - x^2 )

   Для начала преобразуем функцию, выделив полный квадрат:

   $$y = -x^2 + 4x = -(x^2 - 4x) = -(x^2 - 4x + 4) + 4 = -(x-2)^2 + 4$$

   Это парабола с вершиной в точке (2, 4), ветви направлены вниз.

   Найдем точки пересечения с осью x (нули функции):

   $$4x - x^2 = 0$$ $$x(4 - x) = 0$$ $$x = 0 ext{ или } x = 4$$

   Таким образом, парабола пересекает ось x в точках (0, 0) и (4, 0).

2. а) Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [0; 3]

   На отрезке [0; 3] функция ( y = 4x - x^2 ) принимает следующие значения:

   • При ( x = 0 ): ( y = 4(0) - (0)^2 = 0 )
   • При ( x = 3 ): ( y = 4(3) - (3)^2 = 12 - 9 = 3 )

   Также нужно проверить значение в вершине параболы, если она попадает в отрезок [0; 3]. Вершина параболы находится в точке x = 2, что принадлежит отрезку.

   • При ( x = 2 ): ( y = 4(2) - (2)^2 = 8 - 4 = 4 )

   Сравнивая значения, получаем:

   • Наименьшее значение: 0 (при x = 0)
   • Наибольшее значение: 4 (при x = 2)

   Ответ: Наименьшее значение: 0, Наибольшее значение: 4

3. б) Промежутки возрастания и убывания функции

   Функция ( y = 4x - x^2 ) возрастает до вершины параболы и убывает после нее.

   Так как вершина параболы находится в точке x = 2:

   • Функция возрастает на промежутке: ( (-infty; 2] )
   • Функция убывает на промежутке: ( [2; +infty) )

   Ответ: Возрастает: ( (-infty; 2] ), Убывает: ( [2; +infty) )

4. в) Решения неравенства ( 4x - x^2 < 0 )

   Решим неравенство:

   $$4x - x^2 < 0$$ $$x(4 - x) < 0$$

   Найдем нули функции:

   $$x = 0 ext{ или } x = 4$$

   Рассмотрим координатную прямую и знаки функции на интервалах:

   ----(-)--(0)----(+)----(4)----(-)----> X

   Решением неравенства являются интервалы, где функция отрицательна:

   • ( x < 0 )
   • ( x > 4 )

   Ответ: ( x in (-infty; 0) cup (4; +infty) )