Постройте график функции \(y=2|x-4|-x^2+9x-20\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

Раскроем модуль по промежуткам:

При \(x<4\): \(y=-x^2+7x-12\). При \(x\ge 4\): \(y=-x^2+11x-28\).

На первой ветви вершина имеет ординату \(0.25\), на второй — \(2.25\). Подсчёт пересечений горизонтальной прямой с ветвями, с учётом общей границы, даёт ровно три точки при \(m\le 0\) и при \(m=0.25\).

Ответ: \(m\in(-\infty;0]\cup\{0.25\}\).