Постройте график функции y = \(\frac{7x-5}{7x^2-5x}\). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Упростим функцию:

\( y = \frac{7x-5}{7x^2-5x} = \frac{7x-5}{x(7x-5)} \)

При \( 7x-5 \neq 0 \) (т.е. \( x \neq 5/7 \)) и \( x \neq 0 \), функция упрощается до \( y = 1/x \).

Таким образом, график функции — это гипербола \( y = 1/x \) с двумя выколотыми точками:

• При \( x = 0 \) — знаменатель равен нулю, функция не определена.
• При \( x = 5/7 \) — числитель и знаменатель равны нулю. Подставим \( x = 5/7 \) в упрощенную функцию \( y = 1/x \): \( y = 1/(5/7) = 7/5 \). Значит, выколотая точка имеет координаты \( (5/7, 7/5) \).

Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат \( (0,0) \).

Нам нужно найти значения \( k \), при которых прямая \( y = kx \) имеет с графиком \( y = 1/x \) (с учетом выколотой точки) ровно одну общую точку.

1. Пересечение гиперболы \( y = 1/x \) и прямой \( y = kx \):

\( 1/x = kx \)

\( 1 = kx^2 \)

\( x^2 = 1/k \).

Чтобы было одно решение для \( x \), нам нужно, чтобы \( 1/k > 0 \), то есть \( k > 0 \). Тогда \( x = \pm \sqrt{1/k} = \pm 1/\sqrt{k} \).

Если \( k > 0 \), прямая пересекает гиперболу в двух точках.

Если \( k < 0 \), то \( x^2 = 1/k \) не имеет действительных решений, то есть нет пересечений.

Если \( k = 0 \), то \( y = 0 \), что не пересекает гиперболу \( y = 1/x \) (так как \( y \neq 0 \)).

2. Учет выколотой точки \( (5/7, 7/5) \):

Прямая \( y = kx \) пройдет через выколотую точку \( (5/7, 7/5) \) если:

\( 7/5 = k · (5/7) \)

\( k = (7/5) · (7/5) = 49/25 \).

При \( k = 49/25 \) прямая \( y = (49/25)x \) проходит через выколотую точку. В этом случае прямая пересечет гиперболу \( y = 1/x \) в двух точках (так как \( k > 0 \)). Одна из этих точек — выколотая, значит, с графиком функции будет одна общая точка.

3. Особый случай: когда прямая касается параболы (это не применимо к гиперболе).

Итак, у нас есть одна общая точка, когда прямая проходит через выколотую точку, при этом \( k > 0 \) (чтобы прямая вообще пересекала гиперболу).

\( k = 49/25 \) — это значение \( k \), при котором прямая проходит через выколотую точку. Поскольку \( k = 49/25 > 0 \), прямая \( y = (49/25)x \) пересекает гиперболу \( y = 1/x \) в двух точках. Одна из этих точек — выколотая. Следовательно, с графиком функции \( y = \frac{7x-5}{7x^2-5x} \) будет одна общая точка.

Ответ: k = 49/25.