Постройте график функции y = |x² + 4x - 5|. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение:

Сначала построим график функции \( y = x^2 + 4x - 5 \).

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину:

\( x_в = -b/(2a) = -4/(2 · 1) = -2 \).

\( y_в = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 \).

Вершина параболы: \( (-2, -9) \).

Найдем точки пересечения с осью Ox (где \( y=0 \)):

\( x^2 + 4x - 5 = 0 \)

\( (x+5)(x-1) = 0 \)

\( x = -5 \) или \( x = 1 \).

Теперь построим график \( y = |x^2 + 4x - 5| \). Это означает, что часть графика \( y = x^2 + 4x - 5 \), которая находится ниже оси Ox (где \( y < 0 \)), будет симметрично отражена вверх.

Часть параболы между \( x = -5 \) и \( x = 1 \) находится ниже оси Ox. Эта часть (от \( (-5, 0) \) до \( (1, 0) \), включая вершину \( (-2, -9) \)) будет отражена вверх. Вершина \( (-2, -9) \) станет \( (-2, 9) \).

Прямая, параллельная оси абсцисс, — это горизонтальная прямая \( y = m \).

Чтобы определить наибольшее число общих точек, нужно посмотреть, сколько раз горизонтальная линия может пересечь график \( y = |x^2 + 4x - 5| \).

• Если \( m < 0 \), то нет пересечений.
• Если \( m = 0 \), то две точки пересечения (на \( x = -5 \) и \( x = 1 \)).
• Если \( 0 < m < 9 \), то четыре точки пересечения (по две от каждой ветви параболы, кроме отраженной части).
• Если \( m = 9 \), то три точки пересечения (две на отраженной части и одна на той же высоте на параболе).
• Если \( m > 9 \), то две точки пересечения.

Наибольшее число точек пересечения — четыре.

Ответ: 4.