Постройте график функции y = x² - 3|x| -10. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение:

Функция \( y = x^2 - 3|x| - 10 \) является чётной, так как \( y(-x) = (-x)^2 - 3|-x| - 10 = x^2 - 3|x| - 10 = y(x) \). Это значит, что её график симметричен относительно оси ординат.

Рассмотрим случай, когда \( x \ge 0 \). Тогда \( |x| = x \), и функция принимает вид \( y = x^2 - 3x - 10 \).

Найдем вершину параболы \( y = x^2 - 3x - 10 \). Абсцисса вершины: \( x_в = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1.5 \).

Значение \( y \) в вершине: \( y_в = (1.5)^2 - 3(1.5) - 10 = 2.25 - 4.5 - 10 = -12.25 \).

Найдем нули функции для \( x \ge 0 \): \( x^2 - 3x - 10 = 0 \).

Дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 \).

Корни: \( x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2} \).

\( x_1 = \frac{3+7}{2} = 5 \). \( x_2 = \frac{3-7}{2} = -2 \).

Так как мы рассматриваем \( x \ge 0 \), то нас интересует корень \( x = 5 \).

На оси \( Oy \) функция пересекает ось в точке \( y = 0^2 - 3|0| - 10 = -10 \).

Для \( x < 0 \), график будет симметричен, то есть \( y = x^2 + 3x - 10 \). Нули для \( x < 0 \) будут \( x = -5 \). Вершина для \( x < 0 \) будет в точке \( x = -1.5 \), \( y = -12.25 \).

График функции состоит из двух ветвей парабол, которые соединяются в точке \( (0, -10) \) и имеют две вершины в точках \( (1.5, -12.25) \) и \( (-1.5, -12.25) \).

Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет вид \( y = k \).

Чтобы определить наибольшее число общих точек, рассмотрим возможные значения \( k \):

• Если \( k < -12.25 \), прямая не пересечет график (0 точек).
• Если \( k = -12.25 \), прямая коснется двух вершин (2 точки).
• Если \( -12.25 < k < -10 \), прямая пересечет график в 4 точках.
• Если \( k = -10 \), прямая пройдет через точку \( (0, -10) \) и пересечет график еще в 2 точках (всего 3 точки).
• Если \( k > -10 \), прямая пересечет график в 2 точках.

Наибольшее число общих точек достигается, когда \( -12.25 < k < -10 \).

Ответ: 4.